Conceitos iniciais de produto interno e norma

Author: igorizidro

fundamentos/produto-interno.md

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-title: Produto interno
+title: Produto interno e norma
 subject: Fundamentos
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-Começaremos a trabalhar com uma ferramenta provavelmente já conhecida, o produto interno. Em cursos de álgebra vetorial e geometria analítica temos contato com o chamado *produto interno euclidiano* ou *produto interno canônico* para os espaços $\mathbb{R}^{2}$ e $\mathbb{R}^{3}$. No caso do espaço $\mathbb{R}^{2}$, o produto interno euclidiano entre os vetores $x=(x_{1},x_{2})$ e $y=(y_{1},y_{2})$ é dado por 
+Começaremos a trabalhar com duas ferramentas provavelmente já conhecidas: o produto interno e a norma. Em cursos de álgebra vetorial e geometria analítica temos contato com uma versão do produto interno e norma chamada de *euclidiana* ou *canônica*. No caso do espaço $\mathbb{R}^{2}$, o produto interno euclidiano entre os vetores $x=(x_{1},x_{2})$ e $y=(y_{1},y_{2})$ é dado por 
 
 $$
-\langle x , y \rangle = x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}.
+\langle x , y \rangle = x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2},
 $$
 
-Com esse produto interno em $\mathbb{R}^{2}$ e $\mathbb{R}^{3}$ temos uma versátil ferramenta de análise geométrica, que permite relacionar ângulos e distâncias entre vetores (este último a partir da norma euclidiana, diretamente relacionada com o produto interno).
+enquanto que a norma euclidiana é dada por
 
-A ideia agora é generalizarmos o conceito de produto interno, considerando um espaço vetorial qualquer. Possuindo espaços vetoriais munidos de produto interno, poderemos definir uma importante transformação linear, chamada de **adjunta**.
+$$
+\lVert x \rVert =\sqrt{ x_{1}^{2}+x_{2}^{2} }.
+$$
+
+Eles nos dão em $\mathbb{R}^{2}$ e $\mathbb{R}^{3}$ uma importante ferramenta de análise geométrica, que permite relacionar ângulos e distâncias entre vetores.
+
+A ideia agora é generalizarmos os conceitos de produto interno e norma, considerando um espaço vetorial qualquer. Possuindo espaços vetoriais munidos de produto interno, poderemos definir uma importante transformação linear, chamada de **adjunta**.
 
 ### Conceitos iniciais
 
 O produto interno, em um sentido geral, é definido como uma função entre vetores de um espaço que obedece algumas propriedades.
 
 :::{prf:definition} Produto interno
+:label: def-produto-interno
 
 Seja $V$ um espaço vetorial. Um ***produto interno*** em $V$ é uma função $\langle \cdot , \cdot \rangle:V\times V\to \mathbb{R}$ que leva cada par de vetores $(u,v)$ de $V$ em um número $\langle u , v \rangle \in \mathbb{R}$, satisfazendo as seguintes propriedades:
 
 1. (**Positivo-definido**) $\langle v , v \rangle \geq 0$, $\forall v\in V$, valendo a igualdade se, e somente se, $v = 0$;
-2. (**Aditividade na primeira entrada**) $\langle u+w , v \rangle=\langle u , v \rangle+\langle w , v \rangle,\, \forall u,w,v \in V$;
-3. (**Homogeneidade na primeira entrada**) $\langle av , w \rangle=a\langle v , w \rangle,\, \forall a \in \mathbb{R}$ e $\forall v,w \in V$;
+2. (**Aditividade**) $\langle u+w , v \rangle=\langle u , v \rangle+\langle w , v \rangle,\, \forall u,w,v \in V$;
+3. (**Homogeneidade**) $\langle av , w \rangle=a\langle v , w \rangle,\, \forall a \in \mathbb{R}$ e $\forall v,w \in V$;
 4. (**Simétrico**) $\forall u,v \in V$ tem-se $\langle u , v \rangle=\langle v , u \rangle$.
 
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 \langle x , y \rangle=x_{1}y_{1}+\dots+x_{n}y_{n},
 $$
 
-define um produto interno em $\mathbb{R}^{n}$.
+define um produto interno em $\mathbb{R}^{n}$, chamado de ***produto interno euclidiano*** ou ***produto interno canônico***.
+
+A verificação das propriedades da [](#def-produto-interno) é razoavelmente direta.
+1. É evidente que $\langle x , x \rangle=x_{1}^{2}+\dots+x_{n}^{2} \geq 0$, para qualquer $x \in \mathbb{R}^{n}$. Em particular, $x_{1}^{2}+\dots+x_{n}^{2}= 0 \iff x = 0$;
+2. Sejam $x=(x_{1},\dots,x_{n}),y=(y_{1},\dots,y_{n})$ e $z=(z_{1},\dots,z_{n})$ vetores de $\mathbb{R}^{n}$, então $\langle x+y , z \rangle=(x_{1}+y_{1})z_{1}+\dots+(x_{n}+y_{n})z_{n}=x_{1}z_{1}+\dots+x_{n}z_{n}+y_{1}z_{1}+\dots+y_{n}z_{n}=\langle x , z \rangle+\langle y , z \rangle$;
+3. Seja $a \in \mathbb{R}$, $\langle ax , y \rangle=ax_{1}y_{1}+\dots+ax_{n}y_{n}=a(x_{1}y_{1}+\dots+x_{n}y_{n})=a\langle x , y \rangle$;
+4. $\langle x , y \rangle=x_{1}y_{1}+\dots+x_{n}y_{n}=y_{1}x_{1}+\dots+y_{n}x_{n}=\langle y , x \rangle$.
+
+:::
+
+De maneira análoga ao que foi feito no exemplo, verifica-se que 
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+$$
+\langle x , y \rangle=a_{1}x_{1}y_{1}+\dots+a_{n}x_{n}y_{n},\quad a_{1},\dots,a_{n} \in \mathbb{R}
+$$
+
+define um produto interno em $\mathbb{R}^{n}$, sendo o produto interno euclidiano um caso particular deste, onde $a_{1}=\dots=a_{n}=1$.
+
+A partir de todo produto interno podemos definir uma ***norma***. Normas funcionam como métricas nos espaços vetoriais, medindo o comprimento ou "intensidade" dos vetores, além das distâncias entre eles. 
+
+:::{prf:definition} Norma induzida pelo produto interno
+:label: def-norma
+
+Seja $V$ um espaço vetorial munido de produto interno $\langle \cdot , \cdot \rangle$, a ***norma induzida*** por $\langle \cdot , \cdot \rangle$ é a função $\lVert \cdot \rVert:V\to \mathbb{R}$, dada por
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+$$
+\lVert v \rVert =\sqrt{ \langle v , v \rangle },\;\forall v \in V.
+$$
 
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+
+Assim como no caso do produto interno, a definição de norma pode ser generalizada de maneira que qualquer função que atenda certas propriedades caracterize uma norma, mesmo que esta não esteja diretamente relacionada com um produto interno[^1]. No caso das normas do tipo da [](#def-norma), as quais voltaremos nossa atenção, essas propriedades são "herdadas" do produto interno.
+
+[^1]: Os principais exemplos de normas não induzidas por produto interno em ${} \mathbb{R}^{n} {}$ são a norma do infinito (ou norma do máximo), usualmente denotada por ${} \lVert \cdot \rVert_{\infty} {}$ e dada pela maior coordenada em módulo do vetor, e a norma da soma (ou norma 1), usualmente denotada por ${} \lVert \cdot \rVert_{S} {}$ e dada pela soma dos módulos das coordenadas.