Add script for sanitizing mathematical Unicode and update related files

- Introduced `sanitize_math_unicode.py` to process and replace mathematical Unicode characters with LaTeX equivalents.
- Added a new file `math_unicode_scan.txt` to track instances of Unicode in mathematical documents.
- Updated various markdown files to ensure proper formatting and consistency in mathematical expressions.

Author: Cyletix

Other/例题/三维空间堵车概率评估.md

@@ -16,11 +16,11 @@ finished: false
 2. **泊松过程模型**：
    - 假设车辆或无人机的分布符合泊松过程。
    - 二维空间中某一区域拥堵的概率：
-     $$ P_{\text{堵车}}^{2D} = 1 - e^{-\lambda_{2D} \cdot A_{\text{区}}} $$
-     其中，$A_{\text{区}}$ 是考虑的区域面积。
+     $$ P_{\text{note}}^{2D} = 1 - e^{-\lambda_{2D} \cdot A_{\text{note}}} $$
+     其中，$A_{\text{note}}$ 是考虑的区域面积。
    - 三维空间中某一区域拥堵的概率：
-     $$ P_{\text{堵车}}^{3D} = 1 - e^{-\lambda_{3D} \cdot V_{\text{区}}} $$
-     其中，$V_{\text{区}}$ 是考虑的区域体积。
+     $$ P_{\text{note}}^{3D} = 1 - e^{-\lambda_{3D} \cdot V_{\text{note}}} $$
+     其中，$V_{\text{note}}$ 是考虑的区域体积。
 
 3. **计算示例**：
    - 假设二维空间的面积 $A = 1000 \text{m}^2$，总车辆数 $N = 100$。
@@ -31,17 +31,17 @@ finished: false
    $$ \lambda_{3D} = \frac{100}{10000} = 0.01 \text{drones/m}^3 $$
 
    考虑二维空间中一个 $10 \text{m}^2$ 的区域：
-   $$ P_{\text{堵车}}^{2D} = 1 - e^{-0.1 \cdot 10} = 1 - e^{-1} \approx 0.632 $$
+   $$ P_{\text{note}}^{2D} = 1 - e^{-0.1 \cdot 10} = 1 - e^{-1} \approx 0.632 $$
 
    考虑三维空间中一个 $100 \text{m}^3$ 的区域：
-   $$ P_{\text{堵车}}^{3D} = 1 - e^{-0.01 \cdot 100} = 1 - e^{-1} \approx 0.632 $$
+   $$ P_{\text{note}}^{3D} = 1 - e^{-0.01 \cdot 100} = 1 - e^{-1} \approx 0.632 $$
 
 4. **调整参数和区域大小**：
    - 可以根据实际情况调整区域大小和密度，重新计算拥堵概率。
    - 例如，如果二维空间的区域减小到 $1 \text{m}^2$：
-     $$ P_{\text{堵车}}^{2D} = 1 - e^{-0.1 \cdot 1} = 1 - e^{-0.1} \approx 0.095 $$
+     $$ P_{\text{note}}^{2D} = 1 - e^{-0.1 \cdot 1} = 1 - e^{-0.1} \approx 0.095 $$
 
    而三维空间中的一个 $1 \text{m}^3$ 区域：
-   $$ P_{\text{堵车}}^{3D} = 1 - e^{-0.01 \cdot 1} = 1 - e^{-0.01} \approx 0.01 $$
+   $$ P_{\text{note}}^{3D} = 1 - e^{-0.01 \cdot 1} = 1 - e^{-0.01} \approx 0.01 $$
 
 这个示例展示了如何通过简单的泊松过程模型来估算二维和三维空间中拥堵的概率。实际情况可能更加复杂，需要考虑更多因素如交通流量、路径选择、动态变化等。

Other/例题/九州過去問/R02-B-問1.md

@@ -111,7 +111,7 @@ $$
 $$
 因此, 时刻 $2$ 处于状态  "10"  的概率为: 
 $$
-P(\text{state  "10" }) = 0.25
+P(\text{state "10"}) = 0.25
 $$
 ---
 #### (3) 定常分布 $\mathbf{w}$
@@ -206,15 +206,15 @@ $$
 
 利用这些关系计算各项条件熵. 根据已知的转移概率矩阵和定常分布: 
 1. 从状态  "00" : 
-   - $P(X_3 = \text{ "00" } \mid X_1 = \text{ "00" }, X_2 = \text{ "00" }) = 0.75$
-   - $P(X_3 = \text{ "10" } \mid X_1 = \text{ "00" }, X_2 = \text{ "00" }) = 0$
-   - $P(X_3 = \text{ "01" } \mid X_1 = \text{ "00" }, X_2 = \text{ "00" }) = 0.25$
+   - $P(X_3 = \text{"00"} \mid X_1 = \text{"00"}, X_2 = \text{"00"}) = 0.75$
+   - $P(X_3 = \text{"10"} \mid X_1 = \text{"00"}, X_2 = \text{"00"}) = 0$
+   - $P(X_3 = \text{"01"} \mid X_1 = \text{"00"}, X_2 = \text{"00"}) = 0.25$
 
 2. 其他状态类似, 计算每一项的条件熵贡献. 
 
 最终结果为: 
 $$
-H(S) = H(X_3 \mid X_1, X_2) = \text{(通过计算得到的具体值, 可进一步展开. )}
+H(S) = H(X_3 \mid X_1, X_2) = \text{note}
 $$
 
 

Other/例题/九州過去問/R02-B-問2.md

@@ -20,8 +20,8 @@ $X$ と $Y$ を，$\{0, 1\}$ に値をとる確率変数とする．パラメー
 2進エントロピー関数 $h(p)$ を次のように定める：
 $$
 h(p) = \begin{cases} 
--p \log p - (1-p) \log (1-p), & \text{if } 0 < p < 1 \\
-0, & \text{if } p = 0 \text{ or } p = 1
+-p \log p - (1-p) \log (1-p), & \text{if} 0 < p < 1 \\
+0, & \text{if} p = 0 \text{or} p = 1
 \end{cases}
 $$
 ## 問い
@@ -46,7 +46,7 @@ H(Y | X = 0) = h(\beta), \quad H(Y | X = 1) = h(\gamma)
 $$
 其中，二进制熵函数 $h(p)$ 定义为：
 $$
-h(p) = -p \log p - (1-p) \log (1-p) \quad \text{(如果 } 0 < p < 1\text{)}
+h(p) = -p \log p - (1-p) \log (1-p) \quad \text{note} 0 < p < 1\text{)}
 $$
 因此，条件熵 $H(Y | X)$ 为：
 $$
@@ -147,7 +147,7 @@ H(Y|X) = \alpha h(\beta) + (1-\alpha) h(\gamma).
 $$
 $\gamma$ 应选择使 $h(\gamma)$ 最小，即：
 $$
-\gamma = 0 \quad \text{或} \quad \gamma = 1.
+\gamma = 0 \quad \text{note} \quad \gamma = 1.
 $$
 此时 $h(\gamma) = 0$，有：
 $$

Other/例题/九州過去問/R02-C-問1.md

@@ -28,16 +28,16 @@ $$
 $$
 Y(u) =
 \begin{cases}
-1 & \text{if } u \text{ is the empty string}, \\
-Y(v) \times n(a) & \text{if } u = va, \ v \in \Sigma^*, \ a \in \Sigma.
+1 & \text{if} u \text{is the empty string}, \\
+Y(v) \times n(a) & \text{if} u = va, \ v \in \Sigma^*, \ a \in \Sigma.
 \end{cases}
 $$
-$Y(u) \bmod 6 = 0$ かつ $Y(u) ≠ 0$ となる $u$ のみを受理する決定性有限オートマトン $M_3$ を考える．ここで，$M_3$ の状態集合を $\{q_0, q_1, q_2, q_3, q_6\}$，初期状態を $q_1$，最終状態の集合を $\{q_6\}$ とする．また，各状態は次のような文字列に対応する：
+$Y(u) \bmod 6 = 0$ かつ $Y(u) \ne 0$ となる $u$ のみを受理する決定性有限オートマトン $M_3$ を考える．ここで，$M_3$ の状態集合を $\{q_0, q_1, q_2, q_3, q_6\}$，初期状態を $q_1$，最終状態の集合を $\{q_6\}$ とする．また，各状態は次のような文字列に対応する：
 - $q_0$ は $Y(u) = 0$ を満たす文字列 $u$ に対応，
-- $q_1$ は $Y(u) \bmod 2 ≠ 0$ かつ $Y(u) \bmod 3 ≠ 0$ を満たす文字列 $u$ に対応，
-- $q_2$ は $Y(u) \bmod 2 = 0$ かつ $Y(u) \bmod 6 ≠ 0$ を満たす文字列 $u$ に対応，
-- $q_3$ は $Y(u) \bmod 3 = 0$ かつ $Y(u) \bmod 6 ≠ 0$ を満たす文字列 $u$ に対応，
-- $q_6$ は $Y(u) \bmod 6 = 0$ かつ $Y(u) ≠ 0$ を満たす文字列 $u$ に対応．
+- $q_1$ は $Y(u) \bmod 2 \ne 0$ かつ $Y(u) \bmod 3 \ne 0$ を満たす文字列 $u$ に対応，
+- $q_2$ は $Y(u) \bmod 2 = 0$ かつ $Y(u) \bmod 6 \ne 0$ を満たす文字列 $u$ に対応，
+- $q_3$ は $Y(u) \bmod 3 = 0$ かつ $Y(u) \bmod 6 \ne 0$ を満たす文字列 $u$ に対応，
+- $q_6$ は $Y(u) \bmod 6 = 0$ かつ $Y(u) \ne 0$ を満たす文字列 $u$ に対応．
 $M_3$ の状態遷移図を与えよ．
 
 ---
@@ -59,16 +59,16 @@ $$
 $$
 Y(u) =
 \begin{cases}
-1 & \text{如果 } u \text{ 是空字符串}, \\
-Y(v) \times n(a) & \text{如果 } u = va, \ v \in \Sigma^*, \ a \in \Sigma.
+1 & \text{note} u \text{note}, \\
+Y(v) \times n(a) & \text{note} u = va, \ v \in \Sigma^*, \ a \in \Sigma.
 \end{cases}
 $$
-考虑一个自动机 $M_3$，它接受的字符串 $u$ 满足 $Y(u) \bmod 6 = 0$ 且 $Y(u) ≠ 0$。$M_3$ 的状态集合为 $\{q_0, q_1, q_2, q_3, q_6\}$，初始状态为 $q_1$，终止状态集合为 $\{q_6\}$。各状态对应以下字符串：
+考虑一个自动机 $M_3$，它接受的字符串 $u$ 满足 $Y(u) \bmod 6 = 0$ 且 $Y(u) \ne 0$。$M_3$ 的状态集合为 $\{q_0, q_1, q_2, q_3, q_6\}$，初始状态为 $q_1$，终止状态集合为 $\{q_6\}$。各状态对应以下字符串：
 - $q_0$ 对应 $Y(u) = 0$ 的字符串 $u$，
-- $q_1$ 对应 $Y(u) \bmod 2 ≠ 0$ 且 $Y(u) \bmod 3 ≠ 0$ 的字符串 $u$，
-- $q_2$ 对应 $Y(u) \bmod 2 = 0$ 且 $Y(u) \bmod 6 ≠ 0$ 的字符串 $u$，
-- $q_3$ 对应 $Y(u) \bmod 3 = 0$ 且 $Y(u) \bmod 6 ≠ 0$ 的字符串 $u$，
-- $q_6$ 对应 $Y(u) \bmod 6 = 0$ 且 $Y(u) ≠ 0$ 的字符串 $u$。
+- $q_1$ 对应 $Y(u) \bmod 2 \ne 0$ 且 $Y(u) \bmod 3 \ne 0$ 的字符串 $u$，
+- $q_2$ 对应 $Y(u) \bmod 2 = 0$ 且 $Y(u) \bmod 6 \ne 0$ 的字符串 $u$，
+- $q_3$ 对应 $Y(u) \bmod 3 = 0$ 且 $Y(u) \bmod 6 \ne 0$ 的字符串 $u$，
+- $q_6$ 对应 $Y(u) \bmod 6 = 0$ 且 $Y(u) \ne 0$ 的字符串 $u$。
 绘制 $M_3$ 的状态转移图。
 
 ---
@@ -142,8 +142,8 @@ $$
 $$
 Y(u) =
 \begin{cases}
-1 & \text{if } u \text{ is the empty string}, \\
-Y(v) \times n(a) & \text{if } u = va, \ v \in \Sigma^*, \ a \in \Sigma.
+1 & \text{if} u \text{is the empty string}, \\
+Y(v) \times n(a) & \text{if} u = va, \ v \in \Sigma^*, \ a \in \Sigma.
 \end{cases}
 $$
 这意味着：
@@ -183,28 +183,28 @@ $$
 
 2. **状态 $q_1$：**  
    $$
-   Y(u) \bmod 2 \neq 0 \quad \text{かつ} \quad Y(u) \bmod 3 \neq 0
+   Y(u) \bmod 2 \neq 0 \quad \text{note} \quad Y(u) \bmod 3 \neq 0
    $$
    - 表示 $Y(u)$ 既不能被 $2$ 整除，也不能被 $3$ 整除。  
    - **分析：** 典型情况是 $Y(u) = 1$ 或其他素数乘积。
 
 3. **状态 $q_2$：**  
    $$
-   Y(u) \bmod 2 = 0 \quad \text{かつ} \quad Y(u) \bmod 6 \neq 0
+   Y(u) \bmod 2 = 0 \quad \text{note} \quad Y(u) \bmod 6 \neq 0
    $$
    - 说明 $Y(u)$ 可以被 $2$ 整除但不能被 $6$ 整除，即不能同时被 $3$ 整除。  
    - **分析：** 典型情况是 $Y(u) = 2, 4, 8$ 等。
 
 4. **状态 $q_3$：**  
    $$
-   Y(u) \bmod 3 = 0 \quad \text{かつ} \quad Y(u) \bmod 6 \neq 0
+   Y(u) \bmod 3 = 0 \quad \text{note} \quad Y(u) \bmod 6 \neq 0
    $$
    - 说明 $Y(u)$ 可以被 $3$ 整除但不能被 $6$ 整除，即不能同时被 $2$ 整除。  
    - **分析：** 典型情况是 $Y(u) = 3, 9$ 等。
 
 5. **状态 $q_6$（最终状态）：**  
    $$
-   Y(u) \bmod 6 = 0 \quad \text{かつ} \quad Y(u) \neq 0
+   Y(u) \bmod 6 = 0 \quad \text{note} \quad Y(u) \neq 0
    $$
    - 表示 $Y(u)$ 可以被 $6$ 整除但不为 0。  
    - **分析：** 典型情况是 $Y(u) = 6, 12, 18$ 等。