-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
Expand file tree
/
Copy pathAlgebra Abstarcta0.html
More file actions
679 lines (601 loc) · 29.7 KB
/
Copy pathAlgebra Abstarcta0.html
File metadata and controls
679 lines (601 loc) · 29.7 KB
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
<!DOCTYPE html>
<html lang="es">
<head>
<meta charset="UTF-8">
<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
<title>Álgebra Abstracta - Problemas</title>
<!-- PWA Manifest & Icons -->
<link rel="manifest" href="./manifest.json">
<link rel="apple-touch-icon" href="./icon-512.png">
<meta name="theme-color" content="#4338ca">
<!-- Google Fonts -->
<link rel="preconnect" href="https://fonts.googleapis.com">
<link rel="preconnect" href="https://fonts.gstatic.com" crossorigin>
<link
href="https://fonts.googleapis.com/css2?family=Inter:wght@300;400;500;600;700&family=Outfit:wght@400;600;800&display=swap"
rel="stylesheet">
<!-- FontAwesome -->
<link rel="stylesheet" href="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/font-awesome/6.4.0/css/all.min.css">
<!-- MathJax for rendering LaTeX -->
<script>
window.MathJax = {
tex: {
inlineMath: [['\\(', '\\)'], ['$', '$']],
displayMath: [['\\[', '\\]'], ['$$', '$$']],
processEscapes: true
},
svg: {
fontCache: 'global'
}
};
</script>
<script type="text/javascript" id="MathJax-script" async
src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@3/es5/tex-mml-chtml.js"></script>
<style>
:root {
/* Variables de entorno y colores */
--primary: #4338ca;
--primary-light: #6366f1;
--primary-dark: #312e81;
--bg-color: #f8fafc;
--text-main: #1e293b;
--text-muted: #64748b;
--sidebar-bg: #ffffff;
--box-bg: #ffffff;
--border-color: #e2e8f0;
--shadow-sm: 0 1px 2px 0 rgba(0, 0, 0, 0.05);
--shadow-md: 0 4px 6px -1px rgba(0, 0, 0, 0.1), 0 2px 4px -1px rgba(0, 0, 0, 0.06);
--shadow-lg: 0 10px 15px -3px rgba(0, 0, 0, 0.1), 0 4px 6px -2px rgba(0, 0, 0, 0.05);
/* Colores específicos de cajas */
--def-border: #10b981;
--def-bg: #f0fdf4;
--def-icon: #047857;
--ex-border: #3b82f6;
--ex-bg: #eff6ff;
--ex-icon: #1d4ed8;
}
* {
margin: 0;
padding: 0;
box-sizing: border-box;
}
body {
font-family: 'Inter', sans-serif;
background-color: var(--bg-color);
color: var(--text-main);
line-height: 1.6;
display: flex;
}
h1,
h2,
h3,
h4 {
font-family: 'Outfit', sans-serif;
color: var(--text-main);
}
/* --- SIDEBAR --- */
.sidebar {
width: 280px;
height: 100vh;
background-color: var(--sidebar-bg);
border-right: 1px solid var(--border-color);
position: fixed;
top: 0;
left: 0;
overflow-y: auto;
padding: 2rem 1.5rem;
box-shadow: var(--shadow-sm);
z-index: 100;
}
.sidebar-logo {
font-size: 1.5rem;
font-weight: 800;
color: var(--primary);
margin-bottom: 2rem;
display: flex;
align-items: center;
gap: 0.75rem;
}
.sidebar-logo i {
font-size: 1.8rem;
}
/* --- LOGO CSS INTEGRADO --- */
.css-logo {
display: flex;
align-items: center;
justify-content: center;
background: linear-gradient(135deg, var(--primary-dark), var(--primary-light));
color: white;
font-family: 'Outfit', sans-serif;
font-weight: 800;
border-radius: 8px;
box-shadow: var(--shadow-sm);
flex-shrink: 0;
user-select: none;
}
/* Acento dorado para el número Pi */
.css-logo span {
color: #facc15;
margin-left: 2px;
}
.css-logo-small {
width: 45px;
height: 45px;
font-size: 1.4rem;
}
.css-logo-large {
width: 80px;
height: 80px;
font-size: 2.5rem;
border-radius: 12px;
box-shadow: var(--shadow-md);
}
.nav-link {
display: block;
padding: 0.75rem 1rem;
color: var(--text-muted);
text-decoration: none;
font-weight: 500;
border-radius: 0.5rem;
margin-bottom: 0.5rem;
transition: all 0.2s ease;
}
.nav-link:hover {
background-color: #f1f5f9;
color: var(--primary);
}
.nav-link.active {
background-color: #e0e7ff;
color: var(--primary-dark);
font-weight: 600;
}
/* --- MAIN CONTENT --- */
.main-content {
margin-left: 280px;
padding: 3rem 4rem;
max-width: 1000px;
width: 100%;
}
.page-header {
margin-bottom: 3rem;
border-bottom: 2px solid var(--border-color);
padding-bottom: 1.5rem;
}
.page-header h1 {
font-size: 2.5rem;
font-weight: 800;
color: var(--primary-dark);
letter-spacing: -0.025em;
}
.page-header p {
color: var(--text-muted);
font-size: 1.125rem;
margin-top: 0.5rem;
}
section {
margin-bottom: 4rem;
scroll-margin-top: 3rem;
}
section h2 {
font-size: 1.875rem;
margin-bottom: 1.5rem;
display: flex;
align-items: center;
gap: 1rem;
}
.section-number {
display: inline-flex;
align-items: center;
justify-content: center;
width: 2.5rem;
height: 2.5rem;
background-color: var(--primary);
color: white;
border-radius: 0.5rem;
font-size: 1.25rem;
font-weight: 700;
}
/* --- BOXES (Definition & Example) --- */
.box {
background-color: var(--box-bg);
border-radius: 0.75rem;
padding: 1.5rem 2rem;
margin-bottom: 1.5rem;
box-shadow: var(--shadow-md);
border-left: 5px solid transparent;
position: relative;
}
.box.definition {
border-left-color: var(--def-border);
background-color: var(--def-bg);
}
.box.example {
border-left-color: var(--ex-border);
}
.box-title {
font-family: 'Outfit', sans-serif;
font-weight: 700;
font-size: 1.125rem;
margin-bottom: 1rem;
display: flex;
align-items: center;
gap: 0.5rem;
}
.box.definition .box-title {
color: var(--def-icon);
}
.box.example .box-title {
color: var(--ex-icon);
}
.box p {
margin-bottom: 1rem;
}
.box p:last-child {
margin-bottom: 0;
}
/* --- VIDEO LINKS --- */
.video-link {
color: var(--primary);
text-decoration: underline;
text-decoration-style: dotted;
cursor: pointer;
transition: color 0.3s;
}
.video-link:hover {
color: var(--primary-dark);
}
/* --- PROOF / SOLUTION BUTTON & CONTENT --- */
.proof-btn {
background-color: #f8fafc;
border: 1px solid var(--border-color);
color: var(--primary);
padding: 0.5rem 1rem;
font-size: 0.875rem;
font-weight: 600;
border-radius: 0.375rem;
cursor: pointer;
display: inline-flex;
align-items: center;
gap: 0.5rem;
transition: all 0.2s;
margin-top: 1rem;
font-family: 'Inter', sans-serif;
}
.proof-btn:hover {
background-color: var(--primary);
color: white;
border-color: var(--primary);
}
.proof-content {
display: none;
margin-top: 1rem;
padding: 1.5rem;
background-color: #f8fafc;
border-radius: 0.5rem;
border: 1px dashed var(--border-color);
font-size: 0.95rem;
overflow-x: auto;
}
/* MathJax overflow handling */
mjx-container {
overflow-x: auto;
overflow-y: hidden;
max-width: 100%;
}
@media (max-width: 1024px) {
.sidebar {
width: 240px;
}
.main-content {
margin-left: 240px;
padding: 2rem;
}
}
@media (max-width: 768px) {
body {
flex-direction: column;
}
.sidebar {
width: 100%;
height: auto;
position: relative;
padding: 1rem;
border-right: none;
border-bottom: 1px solid var(--border-color);
}
.main-content {
margin-left: 0;
padding: 1.5rem;
}
.nav-link {
display: inline-block;
margin-right: 0.5rem;
}
}
</style>
</head>
<body>
<!-- MENÚ LATERAL -->
<nav class="sidebar">
<div class="sidebar-logo">
<!-- Logo CSS incrustado -->
<div class="css-logo css-logo-small">J<span>π</span></div>
<span>Álgebra Abstracta</span>
</div>
<a href="../index.html" class="nav-link"
style="color: var(--primary); font-weight: 600; border: 1px solid var(--border-color); margin-bottom: 2rem; background-color: #f8fafc;"><i
class="fa-solid fa-arrow-left"></i> Volver a Inicio</a>
<a href="#grupos" class="nav-link active">1. Teoría de Grupos</a>
<a href="#cuerpos" class="nav-link">2. Cuerpos Primos</a>
<a href="#polinomios" class="nav-link">3. Divisibilidad de Polinomios</a>
<a href="#espacios" class="nav-link">4. Espacios Vectoriales</a>
</nav>
<!-- CONTENIDO PRINCIPAL -->
<main class="main-content">
<header class="page-header" style="display: flex; align-items: center; gap: 1.5rem;">
<!-- Logo CSS incrustado -->
<div class="css-logo css-logo-large">J<span>π</span></div>
<div>
<h1>Álgebra Abstracta</h1>
<p>Problemas Selectos de Oposiciones Matemáticas</p>
</div>
</header>
<!-- SECCIÓN 1: Teoría de Grupos -->
<section id="grupos">
<h2><span class="section-number">1</span> Teoría de Grupos</h2>
<div class="box definition">
<div class="box-title"><i class="fa-solid fa-book-open"></i> Conceptos: Grupos y Automorfismos</div>
<ul style="margin-left: 20px; margin-bottom: 15px;">
<li><strong>Grupo Cíclico ($G$):</strong> Existe $g \in G$ tal que $G = \{g^n : n \in \mathbb{Z}\}$.
</li>
<li><strong>Endomorfismo ($\tau$):</strong> Homomorfismo $\tau: G \to G$.</li>
<li><strong>Automorfismo:</strong> Endomorfismo biyectivo.</li>
<li><strong>Generador:</strong> Elemento $x$ tal que $\langle x \rangle = G$.</li>
</ul>
</div>
<div class="box example">
<div class="box-title"><i class="fa-solid fa-pen-to-square"></i> Problema: Extremadura 1996</div>
<p>Sea $G$ un grupo cíclico y $\tau$ un endomorfismo de $G$. Demostrar que la condición necesaria y
suficiente para que $\tau$ sea un automorfismo es que $\tau$ transforme un generador en otro.</p>
<button class="proof-btn" onclick="toggleProof(this)"><i class="fa-solid fa-eye"></i> Ver Solución paso
a paso</button>
<div class="proof-content">
<p><strong>Solución:</strong></p>
<p><strong>Paso 1: Condición Necesaria ($\implies$)</strong></p>
<p>Si $\tau$ es un automorfismo, entonces es sobreyectivo (y también inyectivo).</p>
<p>$$ \forall y \in G, \exists x \in G \text{ tal que } \tau(x) = y $$</p>
<p>$$ \text{Como } G = \langle g \rangle, \text{ sabemos que } x = g^k \text{ para algún } k \in
\mathbb{Z}. $$</p>
<p>$$ \text{Sustituyendo: } y = \tau(g^k) $$</p>
<p>$$ \text{Por ser homomorfismo: } y = (\tau(g))^k $$</p>
<p>Esto demuestra que cualquier elemento $y \in G$ es una potencia de $\tau(g)$. Por definición,
esto significa que $\tau(g)$ genera $G$.</p>
<p><br><strong>Paso 2: Condición Suficiente ($\impliedby$)</strong></p>
<p>Supongamos que $\tau(g)$ es un generador de $G$. Debemos probar que $\tau$ es biyectiva.</p>
<p><em>Prueba de Sobreyectividad:</em> Dado que la imagen de $\tau$ contiene al generador $\tau(g)$,
y el grupo generado por $\tau(g)$ es todo $G$, entonces la imagen de $\tau$ es todo $G$.
$$ \text{Im}(\tau) \supseteq \langle \tau(g) \rangle = G \implies \tau \text{ es sobreyectiva.}
$$</p>
<p><em>Prueba de Inyectividad:</em> Para demostrar la inyectividad, distinguimos dos casos
fundamentales:</p>
<ul style="margin-left: 20px;">
<li><strong>Caso 1: $G$ es Finito.</strong> Si $G$ tiene orden $n < \infty$, cualquier
aplicación sobreyectiva de un conjunto finito en sí mismo es necesariamente
inyectiva.</li>
<li><strong>Caso 2: $G$ es Infinito.</strong> Si $G \cong (\mathbb{Z}, +)$, los únicos
generadores son $1$ y $-1$.
Si $\tau(1) = 1 \implies \tau(n) = n$ (Identidad). Si $\tau(1) = -1 \implies \tau(n) = -n$
(Isomorfismo $x \mapsto -x$).
En ambos casos, $\text{Ker}(\tau) = \{0\}$. Así, $\tau$ es inyectiva.</li>
</ul>
<p><br><strong>Conclusión Final:</strong> Hemos demostrado ambas implicaciones. Por tanto, para
cualquier grupo cíclico $G$, un endomorfismo es un automorfismo si y solo si la imagen del
generador sigue siendo un generador del grupo.</p>
</div>
</div>
</section>
<!-- SECCIÓN 2: Cuerpos Primos -->
<section id="cuerpos">
<h2><span class="section-number">2</span> Cuerpos Primos</h2>
<div class="box definition">
<div class="box-title"><i class="fa-solid fa-book-open"></i> Conceptos: Racionales del cuerpo</div>
<p>Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo. Definimos $\mathbb{Z}(\mathbb{K})$ como el subanillo generado por el
elemento identidad $1_\mathbb{K}$. Dependiendo de la característica del cuerpo
($\text{char}(\mathbb{K})$), este conjunto se comporta de dos formas: si es 0, es isomorfo a
$\mathbb{Z}$; si es $p$, es isomorfo a $\mathbb{Z}_p$.</p>
</div>
<div class="box example">
<div class="box-title"><i class="fa-solid fa-pen-to-square"></i> Problema: El Subcuerpo Primo</div>
<p>Definimos el conjunto de los <strong>racionales del cuerpo</strong> como: $$ \mathbb{Q}(\mathbb{K}) =
\{ xy^{-1} \mid x, y \in \mathbb{Z}(\mathbb{K}),\ y \neq 0 \} $$ Demostrar que:</p>
<ol style="margin-left: 20px;">
<li>$\mathbb{Q}(\mathbb{K})$ es un subcuerpo de $\mathbb{K}$.</li>
<li>$\mathbb{Q}(\mathbb{K})$ es el menor subcuerpo de $\mathbb{K}$ (es decir, está contenido en
cualquier otro subcuerpo).</li>
</ol>
<button class="proof-btn" onclick="toggleProof(this)"><i class="fa-solid fa-eye"></i> Ver Solución paso
a paso</button>
<div class="proof-content">
<p><strong>Solución:</strong></p>
<p><strong>Parte A: Prueba: $\mathbb{Q}(\mathbb{K})$ es Subcuerpo</strong></p>
<p>Para demostrar que un subconjunto no vacío es un subcuerpo, debemos probar la estabilidad bajo la
resta y la división (por elementos no nulos).</p>
<p><em>1. Estabilidad bajo la resta:</em> Sean $u, v \in \mathbb{Q}(\mathbb{K})$. Entonces $u =
ab^{-1}$ y $v = cd^{-1}$ con $a,b,c,d \in \mathbb{Z}(\mathbb{K})$ y $b,d \neq 0$.</p>
<p>$$ u - v = ab^{-1} - cd^{-1} = \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd} = (ad -
bc)(bd)^{-1} $$</p>
<p>Como $\mathbb{Z}(\mathbb{K})$ es un anillo (cerrado bajo producto y resta): $ad - bc \in
\mathbb{Z}(\mathbb{K})$ y $bd \in \mathbb{Z}(\mathbb{K})$ y $bd \neq 0$. Por tanto $u - v \in
\mathbb{Q}(\mathbb{K})$.</p>
<p><em>2. Estabilidad bajo la división:</em> Sea $v \neq 0$. Entonces $c \neq 0$.</p>
<p>$$ u \cdot v^{-1} = (ab^{-1}) \cdot (cd^{-1})^{-1} = (ab^{-1}) \cdot (dc^{-1}) = (ad)(bc)^{-1} $$
</p>
<p>Por ser $\mathbb{Z}(\mathbb{K})$ anillo: $ad \in \mathbb{Z}(\mathbb{K})$ y $bc \in
\mathbb{Z}(\mathbb{K})$ y $bc \neq 0$. Por tanto $uv^{-1} \in \mathbb{Q}(\mathbb{K})$.</p>
<p><br><strong>Parte B: Prueba: $\mathbb{Q}(\mathbb{K})$ es el Menor Subcuerpo</strong></p>
<p>Sea $F$ un subcuerpo cualquiera de $\mathbb{K}$. Debemos demostrar que $\mathbb{Q}(\mathbb{K})
\subseteq F$.</p>
<ul style="margin-left: 20px;">
<li><strong>Contención de la unidad:</strong> Como $F$ es subcuerpo, debe contener al elemento
neutro multiplicativo de $\mathbb{K}$. Es decir, $1_\mathbb{K} \in F$.</li>
<li><strong>Contención del anillo generado $\mathbb{Z}(\mathbb{K})$:</strong> Como $F$ es
cerrado bajo la suma y la resta, debe contener a todas las sumas finitas de $1_\mathbb{K}$ y
sus inversos aditivos. $$ \mathbb{Z}(\mathbb{K}) = \{ n \cdot 1_\mathbb{K} \mid n \in
\mathbb{Z} \} \subseteq F $$</li>
<li><strong>Contención de los inversos:</strong> Si $y \in \mathbb{Z}(\mathbb{K})$ y $y \neq 0$,
entonces $y \in F$. Como $F$ es un cuerpo, todo elemento no nulo tiene inverso en $F$.
$y^{-1} \in F$.</li>
<li><strong>Conclusión:</strong> Si $x \in \mathbb{Z}(\mathbb{K}) \subseteq F$ y $y^{-1} \in F$,
entonces por la cerradura del producto en $F$: $xy^{-1} \in F \implies
\mathbb{Q}(\mathbb{K}) \subseteq F$.</li>
</ul>
</div>
</div>
</section>
<!-- SECCIÓN 3: Divisibilidad de Polinomios -->
<section id="polinomios">
<h2><span class="section-number">3</span> Divisibilidad de Polinomios</h2>
<div class="box definition">
<div class="box-title"><i class="fa-solid fa-book-open"></i> Polinomios en $\mathbb{Z}[x]$</div>
<p>Para polinomios con coeficientes enteros $P(x) \in \mathbb{Z}[x]$, se cumple una propiedad
fundamental sobre la divisibilidad: $$ a, b \in \mathbb{Z} \implies (a - b) \mid (P(a) - P(b)) $$
</p>
</div>
<div class="box example">
<div class="box-title"><i class="fa-solid fa-pen-to-square"></i> Problema: Murcia - Polinomios Enteros
</div>
<p>a) Sea $P \in \mathbb{Q}[x]$ (asumiremos coeficientes enteros por contexto) tal que $P(m) = 0$ con $m
\in \mathbb{Z}$. Encuentra un conjunto finito de las posibles soluciones del polinomio $Q(x) = P(x)
\pm p$.</p>
<p>b) Sea $P(x) = 0$ una ecuación polinómica de grado 7 con coeficientes enteros tal que $P(4) = 11$ y
$P(8) = 7$. Determinen la solución entera caso de que exista. ¿Es irrelevante el grado del
polinomio?</p>
<button class="proof-btn" onclick="toggleProof(this)"><i class="fa-solid fa-eye"></i> Ver Solución paso
a paso</button>
<div class="proof-content">
<p><strong>Solución:</strong></p>
<p><strong>Resolución Apartado A</strong></p>
<p>Sabemos que $P(m)=0$, lo que implica por el teorema del factor que $P(x) = (x-m)R(x)$. Nos piden
las raíces de $Q(x) = P(x) \pm p = 0$. Esto implica: $P(x) = \mp p$, o $(x - m) \cdot R(x) = \mp
p$.</p>
<p>Para encontrar soluciones enteras, el factor $(x-m)$ debe ser un divisor entero del número primo
$p$. Los divisores de un número primo $p$ son $\{1, -1, p, -p\}$. Por tanto: $$ x-m \in \{1, -1,
p, -p\} $$</p>
<p>Las posibles soluciones son: $$ x \in \{m+1, \quad m-1, \quad m+p, \quad m-p\} $$</p>
<p><br><strong>Resolución Apartado B</strong></p>
<p>Si $k$ es una raíz entera, entonces $P(k) = 0$. Utilizamos la propiedad: $a - b \mid P(a) -
P(b)$.</p>
<p>Condición con $x=4$: $k - 4 \mid P(k) - P(4) \implies k - 4 \mid 0 - 11 \implies k - 4 \mid -11$.
Los divisores de -11 son $\{\pm 1, \pm 11\}$.</p>
<ul style="margin-left: 20px;">
<li>$k - 4 = 1 \implies k=5$</li>
<li>$k - 4 = -1 \implies k=3$</li>
<li>$k - 4 = 11 \implies k=15$</li>
<li>$k - 4 = -11 \implies k=-7$</li>
</ul>
<p>Condición con $x=8$: $k - 8 \mid P(k) - P(8) \implies k - 8 \mid 0 - 7 \implies k - 8 \mid -7$.
Los divisores de -7 son $\{\pm 1, \pm 7\}$.</p>
<ul style="margin-left: 20px;">
<li>$k - 8 = 1 \implies k=9$</li>
<li>$k - 8 = -1 \implies k=7$</li>
<li>$k - 8 = 7 \implies k=15$</li>
<li>$k - 8 = -7 \implies k=1$</li>
</ul>
<p>La solución $k$ debe satisfacer ambas condiciones. El único valor común es <strong>$x =
15$</strong>.</p>
<p><strong>¿Es irrelevante el grado del polinomio?</strong> Sí. La propiedad utilizada $a - b \mid
P(a) - P(b)$ es válida para cualquier polinomio con coeficientes enteros, independientemente de
su grado (siempre que sea $\ge 1$).</p>
</div>
</div>
</section>
<!-- SECCIÓN 4: Espacios Vectoriales -->
<section id="espacios">
<h2><span class="section-number">4</span> Espacios Vectoriales de Polinomios</h2>
<div class="box example">
<div class="box-title"><i class="fa-solid fa-pen-to-square"></i> Problema: Cambio de Base</div>
<p>Sea $E = \mathbb{R}_n[x]$ el $\mathbb{R}$-espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual
que $n$, con $n \geq 1$. Consideramos las familias:</p>
<p>$$ \mathcal{B} = \{1, x, x^2, \dots, x^n\} $$</p>
<p>$$ \mathcal{B}' = \{v_0, v_1, \dots, v_n\} \quad \text{donde} \quad v_i = x^i(1 - x)^{n - i} \quad
\text{para} \quad i = 0, \dots, n $$</p>
<ol style="margin-left: 20px;">
<li>Demostrar que $\mathcal{B}$ y $\mathcal{B}'$ son bases de $E$.</li>
<li>Hallar las matrices de los cambios de base de $\mathcal{B}$ a $\mathcal{B}'$ y viceversa.</li>
</ol>
<button class="proof-btn" onclick="toggleProof(this)"><i class="fa-solid fa-eye"></i> Ver Solución paso
a paso</button>
<div class="proof-content">
<p><strong>Solución:</strong></p>
<p><strong>1. La Base Canónica $\mathcal{B}$</strong></p>
<p>El conjunto $\mathcal{B} = \{1, x, \dots, x^n\}$ es la base canónica de $\mathbb{R}_n[x]$. Como
tiene $n+1$ vectores y la dimensión es $n+1$, es base.</p>
<p><strong>2. Matriz $P = M_{\mathcal{B}' \to \mathcal{B}}$ (De $\mathcal{B}'$ a
$\mathcal{B}$)</strong></p>
<p>Expandimos $v_j$ usando el Binomio de Newton para $(1-x)^{n-j}$:</p>
<p>$$ v_j = x^j \left( \sum_{k=0}^{n-j} \binom{n-j}{k} (-1)^k x^k \right) = \sum_{k=0}^{n-j} (-1)^k
\binom{n-j}{k} x^{j+k} $$</p>
<p>Haciendo el cambio $i = j+k$:</p>
<p>$$ v_j = \sum_{i=j}^{n} (-1)^{i-j} \binom{n-j}{i-j} x^i $$</p>
<p>El coeficiente de $x^i$ en $v_j$ es $P_{ij} = (-1)^{i-j} \binom{n-j}{i-j}$ para $i \geq j$, y $0$
si $i < j$. La matriz es Triangular Inferior.</p>
<p><strong>3. Matriz $Q = M_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'}$ (De $\mathcal{B}$ a
$\mathcal{B}'$)</strong></p>
<p>Expresamos $x^k$ usando $1 = x + (1-x)$:</p>
<p>$$ x^k = x^k \cdot 1^{n-k} = x^k (x + (1-x))^{n-k} = \sum_{m=0}^{n-k} \binom{n-k}{m}
x^{k+m} (1-x)^{n-(k+m)} $$</p>
<p>Sea $j = k+m$. Reconocemos $v_j = x^j(1-x)^{n-j}$:</p>
<p>$$ x^k = \sum_{j=k}^{n} \binom{n-k}{j-k} v_j $$</p>
<p>El coeficiente es $Q_{jk} = \binom{n-k}{j-k}$ para $j \geq k$.</p>
<p><strong>4. Demostrar que $\mathcal{B}'$ es base</strong></p>
<p>Observando la matriz $M_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'}$, vemos que es Triangular
Inferior. Sus elementos de la diagonal principal son $Q_{kk} = \binom{n-k}{0} = 1 \neq
0$. Al tener determinante 1, la matriz es invertible, por lo que $\mathcal{B}'$ es una
base.</p>
</div>
</div>
</section>
</main>
<!-- JS PARA INTERACTIVIDAD -->
<script>
// Función para mostrar/ocultar el contenido de la solución
function toggleProof(btn) {
const proofContent = btn.nextElementSibling;
if (proofContent.style.display === "none" || proofContent.style.display === "") {
proofContent.style.display = "block";
btn.innerHTML = '<i class="fa-solid fa-eye-slash"></i> Ocultar Solución';
} else {
proofContent.style.display = "none";
btn.innerHTML = '<i class="fa-solid fa-eye"></i> Ver Solución paso a paso';
}
}
// Configuración del Intersection Observer para la barra lateral
document.addEventListener('DOMContentLoaded', () => {
const sections = document.querySelectorAll('section');
const navLinks = document.querySelectorAll('.nav-link');
const observerOptions = {
root: null,
rootMargin: '-50% 0px -50% 0px',
threshold: 0
};
const observer = new IntersectionObserver((entries) => {
entries.forEach(entry => {
if (entry.isIntersecting) {
navLinks.forEach(link => link.classList.remove('active'));
const activeId = entry.target.getAttribute('id');
const activeLink = document.querySelector(`.nav-link[href="#${activeId}"]`);
if (activeLink) {
activeLink.classList.add('active');
}
}
});
}, observerOptions);
sections.forEach(section => {
observer.observe(section);
});
// Comportamiento de anclaje suave
document.documentElement.style.scrollBehavior = "smooth";
});
</script>
</body>
</html>